Silahkankunjungi postingan Sifat-sifat Turunan untuk membaca artikel selengkapnya. Turunanfungsi f ( x) cos x lim f ( x h) f ( x ) lim f 1 ( x) = h 0 h h 0 cos( x h) cos x h lim 2 sin 12 2 x h sin 12 h = h 0 h sin 12 h sin x h . h 0 lim 1 lim 12 h = h 0 2 = - sin x . 1 = - sin x d Jadi cos x sin x dx Dengan jalan sama dapat dicari turunan: tan x, cot x, sec x dan cosec x. Rumusrumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri Berikut rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri : i). $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $ ii). $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $ iii). $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $ iv). $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $ Fast Money. A. Turunan TrigonometriRumus turunan dari fungsi trigonometri sin x , cos x , tan x , cot x , sec x dan csc x , dalam kalkulus, disajikan bersama beberapa contoh fungsi Turunan dari Sin dari f x = sin x adalah f x = cos x2. Turunan dari cos dari f x = cos x adalah f x = – sin x3. Turunan tan dari f x = tan x adalah f x = Sec 2x4. Turunan cot dari f x = cot x adalah f x = – csc 2 x5. Turunan dari Sec dari f x = sec x adalah f x = sec x tan x6. Turunan dari csc dari f x = csc x adalah f x = – csc x cot xContoh 1 Temukan turunan pertama dari f x = x sin x Solusi untuk Contoh 1Misalkan g x = x dan h x = sin x, fungsi f dapat dianggap sebagai hasil dari fungsi g dan h f x = g x h x. Oleh karena itu, kita menggunakan aturan produk, f x = g x h’ x + h x g x, untuk membedakan fungsi f sebagai berikutf x = x cos x + sin x * 1 = x cos x + sin xContoh 2 Temukan turunan pertama dari f x = tan x + Sec xSolusi untuk Contoh 2Misalkan g x = tan x dan h x = sec x, fungsi f dapat dianggap sebagai jumlah fungsi g dan h f x = g x + h x. Oleh karena itu, kita menggunakan aturan jumlah, f x = g’ x + h x, untuk membedakan fungsi f sebagai berikutf x = sec 2 x + Sec x tan x = Sec x Sec x + tan xContoh 3 Temukan turunan pertama dari f x = sin x / [1 + cos x]Solusi untuk Contoh 3Misalkan g x = sin x dan h x = 1 + cos x, fungsi f dapat dianggap sebagai hasil dari fungsi g dan h f x = g x / h x. Oleh karena itu, kita menggunakan aturan , f x = [h x g’ x – g x h x] / h x 2 , untuk membedakan fungsi f sebagai berikutg x = cos xh x = – sin xf x = [h x g’ x – g x h x] / h x 2= [1 + cos x cos x – sin x - sin x] / 1 + cos x 2= [cos x + cos 2 x + sin 2 x] / 1 + cos x 2Gunakan identitas trigonometri cos 2 x + sin 2 x = 1 untuk mempermudah persamaan di atasf x = [cos x + 1] / 1 + cos x 2 = 1 / [cos x + 1]B. Perluasan Rumus TrigonometriJika u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x dengan u’ adalah turunan u terhadap x, maka 1. fx = sin u → f x = cos u . u’ 2. fx = cos u → f x = −sin u . u’ 3. fx = tan u → f x = sec2u . u’ 4. fx = cot u → f x = −csc2 u . u’ 5. fx = sec u → f x = sec u tan u . u’ 6. fx = csc u → f x = −csc u cot u . u’Contoh Soal Diferensial Fungsi Trigonometri dan PenyelesaiannyaContoh 1Tentukan turunan dari y = sin 6x ! Penyelesaian Misalkan u = 6x ⇒ u’ = 6y’ = cos u . u’ y’ = cos 6x . 6 y’ = 6cos 6xContoh 2Tentukan turunan dari y = cos x2Penyelesaian Misalkan u = x2 ⇒ u’ = 2xy’ = −sin u . u’ y’ = −sin x2 . 2x y’ = −2x sin x2Contoh 3 Tentukan turunan dari y = tan 3x+2 Penyelesaian Misalkan u = 3x + 2 ⇒ u’ = 3y’ = sec2u . u’ y’ = sec23x+2 . 3 y’ = 3sec23x+2Contoh 4 Tentukan turunan dari y = sec 6xPenyelesaian Misalkan u = 6x ⇒ u’ = 6y’ = sec u tan u . u’ y’ = sec 6x tan 6x . 6 y’ = 6sec 6x tan 6xC. Turunan y = [ux]nMisalkan y = [ux]n dengan ux adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x. Turunan y terhadap x dapat dinyatakan sebagai berikut y′=n[ux]n− 5 Tentukan turunan dari y = cos56x Penyelesaian y = [cos 6x]5Misalkan ux = cos 6x ⇒ u'x = −6sin 6x n = 5y’ = n[ux]n-1. u'x y’ = 5[cos 6x]5-1. −6sin 6x y’ = −30 cos46x . sin 6xContoh 6 Tentukan turunan dari y = sin63x−1 Penyelesaian y = [sin 3x−1]6Misalkan ux = sin 3x−1 ⇒ u'x = 3cos 3x−1 n = 6y’ = n[ux]n-1. u'x y’ = 6[sin 3x−1]6-1 . 3cos 3x−1 y’ = 18 sin53x−1 cos 3x−1Catatan Hasil akhir masih bisa diubah-ubah bentuknya menyesuaikan jawaban yang diminta dari soal, yaitu dengan menggunakan sifat-sifat atau identitas dari Soal Turunan Fungsi TrigonometriLatihan 1Tentukan turunan dari y = sin x2Jawab y’ = cos x2 . 2xy = 2x cos x2Latihan 2Tentukan turunan dari y = cos 3x+1 Jawab y’ = −sin 3x+1 . 3 y’ = −3sin 3x+1Latihan 3Tentukan turunan dari fx = tan 12x Jawab f x = sec212x . 12 f x = 12sec212xLatihan 4Tentukan turunan y = sin x2+3x−1 Jawab y’ = cos x2+3x−1 . 2x+3 y’ = 2x+3 cosx2+3x−1 Latihan 5Tentukan turunan dari y = sec 2x Jawab y’ = sec 2x tan 2x . 2 y’ = 2sec 2x tan 2x Latihan 6Tentukan turunan dari y = cos 2x+14 Jawab y’ = −sin 2x+14 . 42x+14-1 . 2 y’ = −82x+13 sin2x+14Latihan 7Tentukan turunan dari y = tan53x Jawab y’ = 5tan43x . sec23x . 3 y’ = 15 tan43x sec23x Latihan 8Tentukan turunan dari y = cos45x+2 Jawab y’ = 4cos35x+2 . −sin 5x+2 . 5 y’ = −20 cos35x+2 sin5x+2 Latihan 9Tentukan turunan y = sin6x2+3x Jawab y’ = 6 sin5x2+3x . cosx2+3x. 2x + 3 y’ = 62x + 3 sin5x2+3x . cosx2+3xLatihan 10Tentukan f x dari a. fx = 3sin 2x + 4cos x Jawab f x = 3cos 2x . 2 + 4 . −sin x f x = 6cos 2x − 4sin = tan 2x − csc x Jawab f x = sec22x . 2 − −csc x ctg x f x = 2sec22x + csc x ctgc. fx = sec 4x + tan x+1 Jawab f x = sec 4x tan 4x . 4 + sec2x+1 . 1 f x = 4sec 4x tan 4x + sec2x + 1Latihan 11Tentukan turunan dari y = x2cos 2x Jawab Misalkan u = x2 ⇒ u’ = 2x v = cos 2x ⇒ v’ = −2 sin 2xy’ = u’.v + y’ = 2x . cos 2x + x2 . −2 sin 2x y’ = 2x cos 2x − 2x2 sin 2x y’ = 2xcos 2x − x sin 2xLatihan 12Tentukan turunan dari fx = 1 + sin2x7 Jawab ux = 1 + sin2x ⇒ u'x = 2sin x cos x n = 7f x = 71 + sin2x7-1 . 2sin x cos x f x = 7 1 + sin2x6 . sin 2x f x = 7sin 2x 1 + sin2x6SummaryArticle NameDiferensial Fungsi Trigonometri Beserta ContohnyaDescriptionRumus turunan dari fungsi trigonometri sin x , cos x , tan x , cot x , sec x dan csc x , dalam kalkulus, disajikan bersama beberapa contoh fungsi NameGuru SipilPublisher Logo Oleh Agung Izzulhaq — 22 Juni 2019Kategori Kalkulus Masih membahas turunan fungsi trigonometri, kali ini kita akan membuktikan turunan $\cos x$ dan $\sec x$.$$\begin{aligned}D_x \left \cos x \right &= -\sin x \\D_x \left \sec x \right &= \sec x \tan x\end{aligned}$$Bukti Turunan $\cos x$Kita mulai dengan definisi turunan$$D_x \left \cos x \right = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos x+h - \cos x}{h}$$Dengan menggunakan rumus jumlah sudut cosinus, diperolehLimit yang diinginkan adalah untuk $h$ menuju 0. Karena $\sin x$ dan $\cos x$ tidak memuat variabel $h$, maka keduanya dapat dianggap sebagai konstan. Berdasarkan sifat limit kelipatan konstan, diperolehDiketahui bahwa $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}=1$ dan $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1 - \cos h}{h}=0$, sehingga$$\begin{aligned}D_x \left \cos x \right &= -\sin x \cdot 1 - \cos x \cdot 0 \\&= -\sin x\end{aligned}$$Kita juga bisa membuktikan dengan cara berikut$$D_x \left \cos x \right = D_x \sin \frac{\pi}{2} - x$$Kita tahu bahwa $D_x \sin x = \cos x$ Bukti. Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh$$\begin{aligned}D_x \left \cos x \right &= -1 \cdot \cos \frac{\pi}{2} - x \\&= -\cos \frac{\pi}{2} \cos x + \sin \frac{\pi}{2} \sin x \\&= -\cos \frac{\pi}{2} \cos x - \sin \frac{\pi}{2} \sin x\end{aligned}$$Diketahui $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ dan $\cos \frac{\pi}{2} = 0$.$$\begin{aligned}D_x \left \cos x \right &= -1 \cdot 0 \cdot \cos x - 1 \cdot \sin x \\&= -\sin x\end{aligned}$$Bukti Turunan $\sec x$Dengan menggunakan sifat limit perkalian fungsi, diperolehSelain cara ini, kita juga bisa membuktikan dengan aturan pembagian.$$\begin{aligned}D_x \left \sec x \right &= D_x \left \frac{1}{\cos x} \right \\&= \frac{0 \cdot \cos x - - \sin x \cdot 1}{\left \cos x \right ^{2}} \\&= \frac{\sin x}{\left \cos x \right ^{2}} \\&= \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \\&= \sec x \cdot \tan x\end{aligned}$$Terbukti. Rumus dasar turunan fungsi trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan kosinus, yang diperoleh dari konsep limit, yakni sebagai berikut Jika y = sin x maka y’ = cos x Jika y = cos x maka y’ = –sin x Dari rumus dasar tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yakni turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan. Proses pengembangan rumus tersebut adalah Jika y = tan x maka y’ = sec2x Jika y = cot x maka y’ = – cosec2x Jika y = sec x maka y’ = sec x . tan x Jika y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x Selanjutnya, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yakni sebagai berikut Misalkan ux adalah fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan fu = sin u, maka untuk y = f [ux] diperoleh y’ = f [ux]. u’x y’ = cos uu’ y’ = u’.cos u Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u adalah fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka diperoleh Untuk y = sin u maka y’ = u’.cos u Untuk y = cos u maka y’ = –u’.sin u Untuk y = tan u maka y’ = u’. sec2u Untuk y = cot u maka y’ = u'. cosec2u Untuk y = sec u maka y’ = u’. sec u . tan u Untuk y = csc u maka y’ = –u’. cosec u . tan u Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini 01. Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini a fx = cos 3x – 4 b fx = x2 – 4 c fx = cot 2x + 5 – – 4 d fx = 4x2 – sec2x2 + 3x Jawab a fx = cos 3x – 4 Maka f ’x = 3–sin3x – 4 f ’x = – – 4 b fx = x2 – 4 Maka f ’x = 2x3sec2 x2 – 4 f ’x = 2x sec2 x2 – 4 c fx = cot 2x + 5 – 5 . secx2 – 4 Maka f ’x = 252 . sec2x – 2x – 4.tanx2 – 4 f ’x = 20 . sec2x – – 4.tanx2 – 4 d fx = 4x2 – sec2x2 + 3x Maka f ’x = 8x – 4x + 3 secx2 + 3x.tan2x2 + 3x 02. Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini 03. Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini jawab 04. Tentukanlah nilai setiap turunan berikut ini untuk x bilangan real yang diberikan jawab

turunan fungsi trigonometri sec x